Creativiteit & wiskunde

Durf zelf te denken

Geloof niet te snel wat je op school leerde. Er zijn vele wegen die leiden naar de juiste oplossing, maar de weg die je aangeleerd kreeg is niet altijd en voor iedereen de beste. Soms is het zelfs gewoon een slechte methode.
Durf kritisch te denken en platgetreden paden te verlaten, en je komt mooie dingen tegen. Maar dan moet je wel durven.

Er zijn zo van die dingen die we amper in vraag stellen, gewoon omdat we het in het verleden honderden keren op een bepaalde manier gedaan hebben.
In de lagere school leren we hoe we getallen moeten optellen en aftrekken (en vermenigvuldigen en delen ...). Als het kleine getallen zijn, dan word je verondersteld om dat van buiten te leren. Als het grotere getallen zijn, leer je de technieken om het correct op te lossen.
Of nee, we leren 'een' techniek om het op te lossen. Namelijk die techniek die in de wiskundetraditie (en wiskundeboeken) doorgegeven wordt. Eigenlijk bestaan er tientallen technieken om eenzelfde oefening op te lossen, en welke de beste techniek is, hangt af van de concrete opgave en van je eigen persoonlijkheid,  kennis en ervaring.
Maar nee, in de les rekenen wordt de enig zaligmakende techniek uitgelegd, en worden er punten afgetrokken als je alternatieve wegen bewandelt.

Maar blijkbaar is de methode die we allemaal aangeleerd kregen, en waarop we honderden oefeningen gemaakt hebben, helemaal niet zo uniek en bovendien zelfs helemaal niet de beste oplossing.
De meest pragmatische keuze is waarschijnlijk: gebruik een rekenmachientje. Maar ook zonder beroep op 'deus ex (reken)machina' oplossingen zijn er verbeteringen mogelijk.

Voorbeeldje:
We hebben allemaal geleerd hoe je 2 getallen van elkaar kan aftrekken. Onder elkaar schrijven, en digit per digit afwerken, beginnend bij de eenheden. En als dat niet zomaar kan, moet je 'lenen' en schrappen en er getallen bijschrijven. Het resultaat is meestal, hopelijk samen met een correcte oplossing, één grote knoeiboel. De opgave zelf wordt door het vele schrappen en herschrijven soms helemaal onleesbaar.

Guess what? In feite moet je helemaal niet beginnen bij de eenheden. Met identiek dezelfde technieken (onder elkaar schrijven, 'lenen' ...) kan je ook alternatieve strategieen gebruiken om dezelfde vragen op te lossen.

Eigenlijk is deze left-to-right methode heel gelijkend op de klassieke manier van werken. We schrijven de getallen onder elkaar, en werken digit per digit. Als het in een bepaalde kolom niet mogelijk is om de getallen van elkaar af te trekken, dan gaan we 'een tiental lenen' in de kolom links. De enige 2 verschillen zijn:

• we werken van links naar rechts.
• we lenen geen tiental uit de opgave, maar wel uit de 'voorlopige uitkomst', de tussenoplossing.

Het verschil tussen de 2 methodes lijkt op het eerste zicht miniem. Puur wiskundig zijn ze equivalent, maar vanuit educatief-didactisch standpunt helemaal niet.

Werkrichting left-to-right

•  Het left-to-right principe komt overeen met de leesrichting die we aangeleerd hebben. Is dat relevant? geen idee, onderzoek zou dat kunnen uitwijzen, maar het lijkt me sowieso interessant als dat wat gelijk loopt. 

• Left-to-right lijkt in contrast met hoe we andere rekenoefeningen oplossen, maar dat is maar schijn. Hier komen we later nog op terug.

• Left-to-right komt wel overeen met hoe we dergelijke oefeningen intuitief, of via estimate methodes oplossen. Een courante, intuitieve techniek om een moeilijke opgave op te lossen is om eerst een heel ruwe schatting te maken en die steeds meer te verfijnen, tot je de gewenste nauwkeurigheid bereikt hebt. De belangrijkste dingen komen eerst, de details later, als die eventueel nodig blijken. In ons voorbeeld (427.348 - 273.856) zou die schatting als volgt evolueren:

• 4xx.xxx - 2xx.xxx  is  ongeveer 200.000

• aangezien de tweede kolom negatief is  (2 - 7) wordt het iets minder: 1xx.xxx
• bijna 50.000  minder ... : 15x.xxx
• Enzovoort tot we voldoende nauwkeurigheid bereikt hebben. Dit hoeft helemaal niet helemaal uitgewerkt worden tot aan de eenheden.  Die zijn het minst relevant.
• Het is veel relevanter om te weten dat de oplossing 153.xxx is dan xxx.492

Die vergelijking vinden we helemaal niet terug in de klassieke manier van werken.

Werkrichting top-to-bottom

• In de klassieke techniek wordt voor elke kolom zowel onderaan als bovenaan verdergewerkt. De tussenoplossing komt onderaan, het 'lenen' gebeurt bovenaan. Dat lijkt geen groot probleem (na enkele duizenden oefeningen) als je met een oefening bezig bent, maar achteraf blijkt het niet altijd zo evident om de volgorde van bewerkingen zomaar te kunnen reconstrueren.  Voor sommige kinderen is die extra complexiteit om zowel naar boven als naar onder verder te werken extra moeilijk. 
• In de nieuwe methode wordt enkel naar onder toe gewerkt, waardoor de flow ook achteraf eenvoudiger terug te reconstrueren is.

Orde en netheid ;-)

• Dit lijkt een heel relatief issue, zeker als het van mij komt, maar eigenlijk is het heel cruciaal. We hebben het hier over een techniek die wordt aangeleerd en gebruikt in het 3de - 4de - 5de leerjaar. (Daarna wordt dat toch met een rekenmachientje opgelost.) In zo'n geval is een methode die inherent properder, overzichtelijker en minder verwarrend is, altijd beter.

• In de klassieke methode wordt er geschrapt in de opgave en worden er op de meest onmogelijke plaatsen extra cijfertjes bijgeschreven. Vaak is, na het oplossen van de rekensom, de originele opgave nog amper leesbaar. In sommige gevallen overlappen de correcties (het schrappen en schrijven) zelfs de oefeningen die er net boven staan, waardoor elk overzicht verdwijnt.
• In de nieuwe methode wordt er enkel geschrapt en gecorrigeerd in de tussenoplossing. Da's net waar een tussenoplossing voor dient. Zowel de originele opgave, de oplossing, als de oefeningen errond, blijven leesbaar.

Optellen en vermenigvuldigen

• Left-to-right is wel relevant bij het lezen, maar de andere rekenoefeningen worden ook aangeleerd right-to-left. Is dit dan toch een pluspunt voor de klassieke methode?
• Voor optellen lijkt het evident dat een even simpele left-to-right methode bestaat, voor vermenigvuldigen moet ik nog effe kijken wat er mogelijk is.
• Maar !!!!!!  bij de klassieke manier om 2 getallen te delen (staartdeling) wordt er wel left-to-right gewerkt! Blijkbaar is de klassieke manier op zich al helemaal niet consistent. Misschien is het wel best om voor alles een consistente left-to-right manier aan te leren.
• to be continued ....

Out of the box

Het belangrijkste wat ik met deze alternatieve techniek wil aantonen is dat er meerdere oplossingen mogelijk zijn. Sommigen blijven misschien liever bij de klassieke techniek, ofwel uit traditie, ofwel omdat die voor hen echt beter uit komt. Ik heb de alternatieve techniek ontdekt uit dialectische koppigheid. Pure reactantie. Maar het resultaat blijkt meer dan de moeite waard.

Alternatief?
Ik heb deze techniek echt zelf ontdekt (inderdaad, uit koppigheid) maar ik ben er zeker van dat dit al lang bestaat.
Online vond ik verschillende alternatieven, maar die zijn toch niet helemaal hetzelfde als wat ik hier beschreef. bv.

• http://www.youtube.com/watch?v=n1VHRxOU9-s
• http://blogskinny.com/?MATH--LEFT-TO-RIGHT-SUBTRACTION--MILTON-BOWSER-DLVMAGAZINE-COM&AID=1567
• http://www.youtube.com/watch?v=u9tSxpqcLSk  
• http://nychold.com/em-arith.html

Maar, als deze oplossing inderdaad al langer bestaat, waarom wordt die dan niet als standaard methode aangeleerd ? Waarom wordt de klassieke manier dan nog steeds gebruikt en aangeleerd?

Is het dan toch 'traditie'?

Geert Van Damme